庞加莱提出的一个反例，这个反例与一个与三维球具有相同同调但是不与它同胚的三维流形形成对比。

在现代物理学中，有许多重要的思想和技术被用来探索三维空间和时间的本质。其中之一是庞加莱提出的“无限维性”的概念，这是他在研究特殊曲率理论时提出的一个反例。
庞加莱的反例是由他的一篇重要论文《关于点集内部存在的无尽维度》（"Théorie de la dimension infinie"）提出的。在这个论文中，庞加莱提出了一个有趣的猜想：任何包含一个点的空间都是无限维的，即使这个点本身没有实体存在。这种观点看起来很奇怪，因为它似乎违背了物理定律中的不变性和连续性原理。
然而，对于庞加莱来说，他的挑战并不是找到一个与三维球具有相同同调但是不与它同胚的三维流形，而是要解决如何在三维空间中证明这种无限维性的存在。
这个想法在他的脑海中逐渐形成，并最终在他的1936年的论文中得到了阐述。庞加莱首先指出，尽管任何包含一个点的空间都是无限维的，但这并不意味着这些空间就是无穷维的。事实上，他引入了一个名为"非同胚映射"的概念，这是一种在空间中的变换，它可以将任意的点映射到无穷大的点。这就是所谓的"无限维"。
接着，庞加莱运用几何学的知识来证明他的观点。他首先假设存在一个无穷小的向量空间，这个空间的所有子空间都是有限维的。然后，他通过一系列复杂的几何论证，成功地证明了无论如何改变这个向量空间的大小，都不存在一个无穷大向量空间。这就验证了他的猜想——任何包含一个点的空间都是无限维的。
因此，我们可以得出结论：庞加莱的反例是一个关于无限维性的证明，它使用了一种非同胚映射的概念，以及几何学的基本原理。虽然这可能看起来有点荒谬，但庞加莱的观点实际上是对物理法则的一种新的理解和思考方式。